Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）設(shè)不等式f（x）＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)n∈N^*，證明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜

1

1-e-1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，令f'（x）＞0，f′（x）＜0，得f（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值1．
（Ⅱ）把f（x）解析式代入不等式，先驗(yàn)證x=0時(shí)，不等式顯然成立，只需考慮x∈（0，2]的情況，分離參數(shù)a，寫在左邊，設(shè)右邊的為函數(shù)g（x），求導(dǎo)，得出g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最小值e-1，得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）由等比數(shù)列{e^-（n-1）}的前n項(xiàng)和公式求出前n項(xiàng)和，小于

1

1-e-1

，只需求題干中不等式的左邊小于等比數(shù)列{e^-（n-1）}的前n項(xiàng)和，轉(zhuǎn)化為項(xiàng)與項(xiàng)的大小關(guān)系，兩邊開n次方根得（*），因（Ⅰ）中f（x）的最小值1，所以e^x-x≥1，即1+x≤e^x，（*）式取正整數(shù)時(shí)符合1+x＜e^x，故得證．

解答：解：（Ⅰ）解：f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-1．令f'（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0．
從而f（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
所以，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值1（3分）
（Ⅱ）解：因?yàn)椴坏仁絝（x）＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，所以對于任意x∈[0，2]，
不等式f（x）＞ax恒成立（4分）由f（x）＞ax，得（a+1）x＜e^x．
當(dāng)x=0時(shí)，上述不等式顯然成立，故只需考慮x∈（0，2]的情況（5分）
將（a+1）x＜e^x變形為a＜

ex

x

-1，令g (x)=

ex

x

-1，則g（x）的導(dǎo)數(shù)g′ (x)=

(x-1)ex

x2

，
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．從而g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，2）內(nèi)單調(diào)增．
所以，當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最小值e-1，
從而實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，e-1）（8分）
（Ⅲ）證明：因e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

只需證明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1．（10分）
即(

n-i

n

)n＜e-i（i=1，2，…，n-1）．即(1-

i

n

) ＜(e-

i

n

) （i=1，2，…，n-1），（*）
由（Ⅰ）得，對于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．
當(dāng)x=-

i

n

時(shí)（*）式成立．故原不等式成立（12分）

點(diǎn)評：會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．證明不等式時(shí)用到放縮法，此法運(yùn)用靈活，涉及知識點(diǎn)多，訓(xùn)練邏輯推理，抽象概括能力，綜合運(yùn)用能力．屬難題．