Question

已知函數(shù)f（x+2）是偶函數(shù)，x＞2時(shí)f′（x）＞0恒成立（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），且f（4）=0，則不等式（x+2）f（x+3）＜0的解集為

 

．

Answer 1

分析：由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．f（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，-2）上是減函數(shù)，f（4）=f（0）=0．畫出函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖，由不等式（x+2）f（x+3）＜0，可得①

x+2＞0 f(x+3)＜0

，或 ②

x+2＜0 f(x+3)＞0

．分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：由于函數(shù)f（x+2）是偶函數(shù)，故函數(shù)f（x）的圖象
關(guān)于直線x=2對(duì)稱．
∵x＞2時(shí)f′（x）＞0恒成立，
故函數(shù)f（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)，
在（-∞，-2）上是減函數(shù)．
再根據(jù)f（4）=0，可得f（0）=0．
畫出函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖，如圖所示：
故由不等式（x+2）f（x+3）＜0，可得
①

x+2＞0 f(x+3)＜0

，或 ②

x+2＜0 f(x+3)＞0

．
解①可得

x＞-2 0＜x+3＜4

，-2＜x＜1．
解②可得

x＜-2 x+3＜0 ，或x+3＞4

，x＜-3．
綜上可得，不等式的解集為（-2，1）∪（-∞，-3），
故答案為：（-2，1）∪（-∞，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，
屬于中檔題．