Question

已知函數(shù)f（x）=msinx+ncosx，且是它的最大值（其中m，n為常數(shù)且mn≠0），給出下列命題：
①是偶函數(shù)； ②； ③函數(shù)f（x）的圖象關于點對稱；
④是f（x）的最大值；⑤記函數(shù)f（x）的圖象在y軸右側與直線的交點按橫坐標從小到大依次為P₁，P₂，P₃，P₄，…，則|P₂P₄|=π．
其中真命題的是    ．（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

【答案】分析：由題意可得f（x）=sin（x+π ）對于①，由于 f（x+π ）=cosx，是偶函數(shù)；對于②，由tanφ==1，可判斷；
對于③，由于當x=π 時，f（x）=0，可判斷；
對于④，由于 f（-π ）=sin（-π）=- 可判斷．
對于⑤，函數(shù)f（x）的圖象即把函數(shù) y=sinx的圖象向左平移π個單位得到的，故|P₂P₄|等于一個周期
解答：解：由于函數(shù)f（x）=msinx+ncosx=sin（x+φ），且f（π  ）是它的最大值，
∴π+φ=2kπ+π，k∈z，
∴φ=2kπ+π，∴tanφ==1．
∴f（x）=sin（x+2kπ+π ）=sin（x+π ）
對于①，由于 f（x+π  ）=sin（x+π ）=cosx，是偶函數(shù)，故①正確．
對于②，由tanφ==1，可得②正確．
對于③，由于當x=π 時，f（x）=0，故函數(shù)f（x）的圖象關于點（π，0）對稱，故③正確．
對于④，由于  f（-π ）=sin（-π）=- 是 函數(shù)f（x）的最小值，故 ④正確．
對于⑤，函數(shù)f（x）的圖象即把函數(shù) y=sinx的圖象向左平移π個單位得到的，故|P₂P₄|等于一個周期2π，故 ⑤不正確．
 故答案為：①②③
點評：本題考查兩角和正弦公式，正弦函數(shù)的最值，對稱性，奇偶性，函數(shù)圖象的變換，輔助角公式的應用，是解題的關鍵．