Question

A村在C村正北

3

km處，B地在C村正西16km處，已知弧形公路PQ上任一點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離之差為8km．
（1）如圖，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，求弧形公路PQ所在曲線(xiàn)的方程；
（2）現(xiàn)要在公路旁建造一個(gè)變電站M分別向A村、C村送電，但A村有一村辦工廠用電需用專(zhuān)用線(xiàn)路，不得與民用混線(xiàn)用電，因此向A村要架兩條線(xiàn)路分別給村民和工廠送電．要使用電線(xiàn)最短，變電站M應(yīng)建在A村的什么方位，并求出M到A村的距離．

Answer 1

分析：（1）以線(xiàn)段BC所在直線(xiàn)為x軸，其垂直平分線(xiàn)為y軸，建立直角坐標(biāo)系．根據(jù)題意得PQ上任一點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離之差為8km，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義得出動(dòng)點(diǎn)在以B，C為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線(xiàn)上，從而求得弧形公路PQ所在曲線(xiàn)的方程；
（2）依題意，即求2|MA|+|MC|的最小值．過(guò)A作AN垂直于右準(zhǔn)線(xiàn)于N，設(shè)t=2|MA|+|MC|=2（|MA|+d）≥2|AN|，由平面幾何知識(shí)知，當(dāng)M為AN與雙曲線(xiàn)交點(diǎn)時(shí)，t最小，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（1）（6分）以線(xiàn)段BC所在直線(xiàn)為x軸，其垂直平分線(xiàn)為y軸，建立直角坐標(biāo)系．
∵PQ上任一點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離之差為8km
由雙曲線(xiàn)定義，PQ所在曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)的右支，
B、C為焦點(diǎn)，c=8，a=4
∴b²=c²-a²=64-16=48，…（4分）
∴所求方程為：

x2

16

-

y2

48

=1（x＞0）…（6分）（沒(méi)有范圍扣1分）
（2）（7分）依題意，即求2|MA|+|MC|的最小值…（1分）
由第二定義

|MC|

d

=e=

c

a

=

8

4

=2（d為M到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離）
∴|MC|=2d，過(guò)A作AN垂直于右準(zhǔn)線(xiàn)于N，
設(shè)t=2|MA|+|MC|=2（|MA|+d）≥2|AN|．則當(dāng)M為AN與雙曲線(xiàn)交點(diǎn)時(shí)，t最小…（3分）
∵A（8，

3

）∴yM=

3

，代入雙曲線(xiàn)方程，得xM=

17

，…（5分）
此時(shí)M在A的正西方向，|MA|=8-

17

∴應(yīng)把電房建在A村正西方向距離A村8-

17

km處使得電線(xiàn)最短…（7分）

點(diǎn)評(píng)：考查圓錐曲線(xiàn)的實(shí)際背景及作用、考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型的能力，以及會(huì)用雙曲線(xiàn)的定義的方法來(lái)求函數(shù)的最小值的能力．