Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋ax²＋blnx，曲線y＝f(x)過P(1,0)，且在P點處的切線斜率為2.

(1)求a，b的值；

(2)證明：f(x)≤2x－2.

 

Answer 1

【答案】

　(1) a＝－1，b＝3. (2)利用導(dǎo)數(shù)證明。

【解析】

試題分析：　(1)f ′(x)＝1＋2ax＋.（1分）

由已知條件得即

解得a＝－1，b＝3.   （4分）

(2)f(x)的定義域為(0，＋∞)，

由(1)知f(x)＝x－x²＋3lnx.

設(shè)g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x²＋3lnx，則

g′(x)＝－1－2x＋＝－.  （6分）

當(dāng)0<x<1時，g′(x)>0；當(dāng)x>1時，g′(x)<0.

所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1，＋∞)單調(diào)遞減．（8分）

而g(1)＝0，故當(dāng)x>0時，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2. （10分）

考點：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，不等式組的證明。

點評：中檔題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考必考內(nèi)容，思路往往比較明確根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的正負，確定函數(shù)的單調(diào)性。定義不懂事的證明問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，使問題得解。