Question

點P為圓O；x²+y²=4上一動點，PD⊥x軸于D點，記線段PD的中點M的運動軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II）直線l經(jīng)過定點（0，2）與曲線C交于A、B兩點，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀），M（x，y），由

x=x0 y= 1 2 y0

，能求出曲線C的方程．
Ⅱ）依題意l斜率存在，其方程為y=kx+2，由

x2+4y2=4 y=kx+2

，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，由此入手能夠求出△OAB面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀），M（x，y），
∵點P為圓O；x²+y²=4上一動點，PD⊥x軸于D點，記線段PD的中點M，
∴

x=x0 y= 1 2 y0

，∴

x0=x y0=2y

，…2分
代入x²+y²=4，得曲線C的方程：

x2

4

+y2=1．…4分
（Ⅱ）依題意l斜率存在，
其方程為y=kx+2，
由

x2+4y2=4 y=kx+2

，消去y整理得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
△=（16k）²-4（4k²+1）×12=4（4k²-3），
由△＞0，得4k²-3＞0，①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-16k

4k2+1

，x₁x₂=

12

4k2+1

．②…6分
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( -16k 4k2+1 )2-4• 12 4k2+1 ]

，③
原點到直線l距離為d=

|2|

1+k2

，④…8分
由面積公式及③④得
S_OAB=

1

2

×|AB|d
=4

4k2-3 (1+4k2)2

=4

4k2-3 (1+4k2)2

=4

4k2-3 (4k2-3)+8(4k2-3)+16

=4

1 4k2-3+8+ 16 4k2-3

≤4

1 16

=1，…10分
當(dāng)且僅當(dāng) 4k2-3=

16

4k2-3

，即4k²-3=4時，等號成立．
此時S_△OAB最大值為1．…12分．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．