Question

如圖，PC⊥平面ABC，PM∥CB，∠ACB=120°，PM=AC=1，BC=2，異面直線AM與直線PC所成的角為60°．
（Ⅰ）求二面角M-AC-B大小的正切值；
（Ⅱ）求三棱錐P-MAC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）在平面ABC內(nèi)，過(guò)C作CD⊥CB，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，求出平面MAC的一個(gè)法向量為 ，平面ABC的法向量取為 =（0，0，1）利用 ，解答即可．
（II）取平面PCM的法向量取為 =（{1，0，0}），則點(diǎn)A到平面PCM的距離 ，求出體積即可．
解答：解：（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)C作CB的垂線，按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．（1分） 
設(shè)點(diǎn)P（0，0，z）（z＞0），由已知可得，點(diǎn)，M（0，1，z），
則．
因?yàn)橹本�AM與直線PC所成的角為60°，
則，即．
解得z=1，從而．（3分）
設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為=（x₁，y₁，z₁），
則，即．
取x₁=1，則=．（5分）
又=（0，0，1）為平面ABC的一個(gè)法向量，
設(shè)向量與的夾角為θ，則．
從而，．（7分）
顯然，二面角M-AC-B的平面角為銳角，故二面角M-AC-B的正切值是．（8分）
（Ⅱ）因?yàn)閍=（1，0，0）為平面PCM的一個(gè)法向量，，
則點(diǎn)A到平面PCM的距離．（10分）
又PC=PM=1，則．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二面角的平面角、三棱錐體積等有關(guān)知識(shí)，考查思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運(yùn)算能力．