Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點坐標為（1，0），且長軸長是短軸長的

2

倍．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標原點，橢圓C與直線y=kx+1相交于兩個不同的點A，B，線段AB的中點為P，若直線OP的斜率為-1，求△OAB的面積．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)題意得關(guān)于a，b，c的方程，進而結(jié)合橢圓中a，b，c的關(guān)系求得a，b，則橢圓方程可得．
（II）設(shè)A（0，1），B（x₁，y₁），P（x₀，y₀），聯(lián)立

x2+2y2=2 y=kx+1

，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合求根公式，利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）由題意得c=1 ， a=

2

b，（2分）
又a²-b²=1，所以b²=1，a²=2．（3分）
所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（0，1），B（x₁，y₁），P（x₀，y₀），
聯(lián)立

x2+2y2=2 y=kx+1

消去y得（1+2k²）x²+4kx=0（*），（6分）
解得x=0或x=-

4k

1+2k2

，所以x1=-

4k

1+2k2

，
所以B(-

4k

1+2k2

，

1-2k2

1+2k2

)，P(-

2k

1+2k2

，

1

1+2k2

)，（8分）
因為直線OP的斜率為-1，所以-

1

2k

=-1，
解得k=

1

2

（滿足（*）式判別式大于零）．（10分）
O到直線l：y=

1

2

x+1的距離為

2

5

，（11分）
|AB|=

x 2 1 +(y1-1)2

=

2

3

5

，（12分）
所以△OAB的面積為

1

2

×

2

3

5

×

2

5

=

2

3

．（13分）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內(nèi)容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大．