Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為

（1）求的解析式；

（2）若對(duì)任意的均有求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（3）設(shè)為兩個(gè)正數(shù)，求證：

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到進(jìn)而求出解析式；（2）研究函數(shù)的單調(diào)性，使得函數(shù)的最小值大于0即可；（3）當(dāng)時(shí)，和兩種情況；構(gòu)造函數(shù)證得，將式子化簡(jiǎn)即可。

解析：

（1）由得，

由題意： ，解得，所以．

（2）令，

則，令得，

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 在 上單調(diào)遞增，

所以的最小值為，

由題意知，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（3）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立，否則不妨設(shè)，

設(shè)則

當(dāng)時(shí)， ， 在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， ， 在上為增函數(shù).從而當(dāng)時(shí)，∵，∴，即得，

化簡(jiǎn)得，

故．