Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3+ax2+bx+c在x=1及x=3時(shí)取到極值．
（1）求實(shí)數(shù)a，b；
（2）若f（x）≥0在[0，4]上恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）若g（x）=f（x）-cx²在[0，4]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意函數(shù)f（x）=

1

3

x3+ax2+bx+c在x=1及x=3時(shí)取到極值，可得x=1及x=3是f′（x）=0的兩根，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由根系關(guān)系建立關(guān)于a，b的方程解出它們的值；
（2）f（x）≥0在[0，4]上恒成立，可研究出函數(shù)在[0，4]上的最小值，令最小值大于等于0即可解出實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）g（x）=f（x）-cx²在[0，4]上是增函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為g′（x）=x²-（4+2c）x+3≥0在[0，4]上恒成立，將此不等式轉(zhuǎn)化為4+2c≤x+

3

x

在[0，4]上恒成立，利用基本不等式即可得出參數(shù)c所滿足的不等式，解出它的取值范圍

解答：解：（1）由題意函數(shù)f（x）=

1

3

x3+ax2+bx+c在x=1及x=3時(shí)取到極值，可得x=1及x=3是f′（x）=0的兩根
由于f′（x）=x²+2ax+b，故有

1+3=-2a 1×3=b

解得a=-2，b=3
（2）由（1）f（x）=

1

3

x3-2x2+3x+c，f′（x）=x²-4x+3
令導(dǎo)數(shù)大于0解得x＞3或x＜1，由導(dǎo)數(shù)小于0解得1＜x＜3，可得函數(shù)在[0，1]與[3，4]上是增函數(shù)，在[1，3]上是減函數(shù)，
故函數(shù)在[0，4]上的最小值可能為f（0）=c或，f（3）=c，
又f（x）≥0在[0，4]上恒成立，可得c≥0
（3）由題意g（x）=f（x）-cx²=

1

3

x3-(2+c)x2+3x+c，g′（x）=x²-（4+2c）x+3
又g（x）=f（x）-cx²在[0，4]上是增函數(shù)，故g′（x）=x²-（4+2c）x+3≥0在[0，4]上恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，c∈R
當(dāng)x＞0時(shí)，可變?yōu)?+2c≤x+

3

x

在[0，4]上恒成立，
由于x+

3

x

≥2

3

，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=

3

x

，即x=

3

成立，
故有4+2c≤2

3

，解得c≤

3

-2

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值，本題是導(dǎo)數(shù)中綜合性較強(qiáng)的題全面考查了導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的用法，解題的關(guān)鍵是將問題正確轉(zhuǎn)化，考察了轉(zhuǎn)化的思想，推理判斷的能力．