Question

已知四棱錐A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）求證：面ADE⊥面ACD；
（Ⅱ）求四棱錐A-BCDE的體積；
（III）求平面ADE與平面ABC所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知中△ABC為等邊三角形，G為AC的中點，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根據(jù)線面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，則EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；
（ II）四棱錐四棱錐A-BCDE分為兩個三棱錐E-ABC和E-ADC，分別求出三棱錐E-ABC和E-ADC的體積，即可得到四棱錐A-BCDE的體積．
（III）延長DE，CB交于G，連結(jié)AG，說明平面ADE與平面ABC所成二面角的平面角是∠DAC，通過已知條件求平面ADE與平面ABC所成二面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵△ABC為等邊三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG?面ABC∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的兩條相交直線AC，DC，
∴BG⊥面ADC．                          …（6分）
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC
∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC．  …（8分）
（Ⅱ）解：連接EC，該四棱錐分為兩個三棱錐E-ABC和E-ADC．
VA-BCDE=VE-ABC+VE-ACD=

1

3

×

3

4

×1+

1

3

×1×

3

2

=

3

12

+

3

6

=

3

4

．…（12分）
（III）延長DE，CB交于G，連結(jié)AG，
因為AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，所以CB=BG=1，
在△ABG中，AG⊥AC，
因為CD⊥面ABC，所以AG⊥AD，
則平面ADE與平面ABC所成二面角的平面角為：∠DAC．
∴AD=

5

，所以平面ADE與平面ABC所成二面角的余弦值為：

1

5

=

5

5

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，二面角的平面角的求法，其中熟練掌握空間線面平行或垂直的判定、性質(zhì)、定義、幾何特征是解答此類問題的關(guān)鍵．