Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右兩個焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸的上端點(diǎn)為B，短軸上的兩個三等分點(diǎn)為P，Q，且F₁PF₂Q為正方形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若過點(diǎn)B作此正方形的外接圓的切線在x軸上的一個截距為-

3 2

4

，求此橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可表示出P的坐標(biāo)和F₁的坐標(biāo)，利用正方形的性質(zhì)推斷出c=

b

3

，進(jìn)而利用橢圓a，b和c的關(guān)系求得a和b的關(guān)系，則橢圓的離心率可得．
（2）先根據(jù)B的坐標(biāo)，利用幾何關(guān)系求得一條切線的斜率，利用點(diǎn)斜式表示出直線的方程，利用截距求得c，進(jìn)而求得a和b，則橢圓的方程可得．

解答：解：（1）由題意知：P(0，

b

3

)，設(shè)F₁（-c，0）
因為F₁PF₂Q為正方形，所以c=

b

3

即b=3c，∴b²=9c²，即a²=10c²，
所以離心率e=

10

10

（2）因為B（0，3c），由幾何關(guān)系可求得一條切線的斜率為2

2

，
所以切線方程為y-3c=2

2

x，即y=2

2

x+3c，
因為在軸上的截距為-

3 2

4

，所以c=1，
所求橢圓方程為：

x2

10

+

y2

9

=1

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．求橢圓的離心率時最重要的是：通過挖掘題設(shè)的信息，找到橢圓方程中的a，b和c的關(guān)系．