Question

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x）＜g（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導函數(shù)，可得f′（x）=2ax+（x∈（0，+∞））
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴f′（x）=0，∴2a+1=0，∴
∴f′（x）=-x+
令f′（x）＞0，x＞0可得0＜x＜1
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）；
（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），則F′（x）=f′（x）-g′（x）=2ax+-x-2a=
若a≥1，則x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)增，F(xiàn)（x）＜0不恒成立；
若＜a＜1，則函數(shù)在（1，）上F′（x）＜0，在（，+∞）上F′（x）＞0，∴F（x）＜0不恒成立；
若a，則x＞1時，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)減，故只需要F（1）≤0
∴a--2a≤0
∴a≥-
∴
分析：（1）求導函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在x=1處取得極值建立方程，可確定函數(shù)及導函數(shù)的解析式，利用導數(shù)大于0，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），求導函數(shù)，再進行分類討論：a≥1，函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)增，F(xiàn)（x）＜0不恒成立；＜a＜1，同理可得F（x）＜0不恒成立；若a，函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)減，故只需要F（1）≤0，由此可得實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)，考查分類討論的數(shù)學思想，同時考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．