Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
PA⊥底面 ABCD，PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中點(diǎn)．
（1）求證：CM∥平面PAD；
（2）求證：BC⊥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）取PA中點(diǎn)N，連MN，DN，通過(guò)證明四邊形MNDC 是平形四邊形，證明CM∥AD．
（2）取AB中點(diǎn)H，則四邊形ADCH為正方形，證明BC⊥AC，PA⊥BC以及PA∩BC=A，推出BC⊥平面PAC．

解答：解：（1）取PA中點(diǎn)N，連MN，DN
∵M(jìn)N是△PAB的中位線，所以MN平行且等于

1

2

AB…（1分）
又∵DC平行且等于

1

2

AB，∴MN平行且等于DC…（2分）
∴四邊形MNDC 是平形四邊形…（3分）
∴CM∥ND…（4分）
又∵ND?平面PAD，CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD…（6分）
（2）取AB中點(diǎn)H，則四邊形ADCH為正方形
∴BC²=CH²+HB²=2…（7分）
△ADC中，AC²=AD²+CD²=2…（8分）
∵AC²+BC²=4=AB²，∴BC⊥AC…（10分）
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC…（11分）
又∵PA∩BC=A，∴BC⊥平面PAC…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與直線的平行，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．