Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）是否存在實數(shù)使函數(shù)是奇函數(shù)？并說明理由；

（2）在（1）的條件下，當時， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的恒等式，據(jù)此可得a=1；

(2)由題意可得函數(shù)在上是增函數(shù).結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)有在上是增函數(shù)，

結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍為

試題解析：

（1）當函數(shù)是奇函數(shù).

由得， ，

解得.

（2）函數(shù).

任取設(shè)

則，

因為函數(shù)在上是增函數(shù)，且所以，

又，所以，即，

所以函數(shù)在上是增函數(shù).

因為是奇函數(shù)，從而不等式等價于

，

因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，

所以當時恒成立.

設(shè),任取，且

則，

當且時， ， ， ，

所以，所以在上是減函數(shù)；

當且時， ， ， ，

所以，所以在上是增函數(shù)，

所以，即，

所以的取值范圍為