Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若過點A（2，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為-3，求導(dǎo)，可得±1是f′（x）=0的兩根，且f′（0）=-3，解方程組即可求得，a，b，c的值，從而求得f（x）的解析式；（Ⅱ）設(shè)切點，求切線方程，得到m=-2x₀³+6x₀²-6，要求過點A（2，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，即求m=-2x₀³+6x₀²-6有三個零點，畫出函數(shù)的草圖，即可求得
實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx+c
依題意

f′(1)=3a+2b+c=0 f′(-1)=3a-2b+c=0

?

b=0 3a+c=0

又f'（0）=-3∴c=-3∴a=1∴f（x）=x³-3x
（Ⅱ）設(shè)切點為（x₀，x₀³-3x₀），
∵f'（x）=3x²-3∴f'（x₀）=3x₀²-3
∴切線方程為y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀）
又切線過點A（2，m）
∴m-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（2-x₀）
∴m=-2x₀³+6x₀²-6
令g（x）=-2x³+6x²-6
則g'（x）=-6x²+12x=-6x（x-2）
由g'（x）=0得x=0或x=2g（x）_極小值=g（0）=-6，g（x）_極大值=g（2）=2
畫出草圖知，當-6＜m＜2時，m=-2x³+6x²-6有三解，
所以m的取值范圍是（-6，2）．

點評：此題是中檔題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，和利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力．