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        1. 【題目】已知函數(shù).

          (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

          (Ⅱ)證明當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式恒成立;

          (Ⅲ)若正實(shí)數(shù)滿足,證明.

          【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析

          【解析】試題分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),從而可確定函數(shù)的單調(diào)性;(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其最值,將恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(3)將代數(shù)式放縮,構(gòu)造關(guān)于的一元二次不等式,解不等式即可.

          試題解析:(Ⅰ) ,

          ,得

          ,所以.

          所以的單調(diào)減區(qū)間為,函數(shù)的增區(qū)間是.

          (Ⅱ)令 ,

          所以 .

          因?yàn)?/span>,

          所以.

          ,得.

          所以當(dāng),;

          當(dāng)時(shí),.

          因此函數(shù)是增函數(shù),在是減函數(shù).

          故函數(shù)的最大值為

          .

          ,因?yàn)?/span>,

          又因?yàn)?/span>是減函數(shù).

          所以當(dāng)時(shí),,

          即對(duì)于任意正數(shù)總有.

          所以關(guān)于的不等式恒成立.

          (Ⅲ)由

          ,

          從而 .

          ,則由得,.

          可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.

          所以

          所以,

          ,

          因此成立.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (Ⅰ)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率;

          (Ⅱ)若將頻率視為概率,從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件,記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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