【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)證明當(dāng)時,關(guān)于
的不等式
恒成立;
(Ⅲ)若正實(shí)數(shù)滿足
,證明
.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析
【解析】試題分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),從而可確定函數(shù)的單調(diào)性;(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其最值,將恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(3)將代數(shù)式
放縮,構(gòu)造關(guān)于
的一元二次不等式,解不等式即可.
試題解析:(Ⅰ)
,
由,得
,
又,所以
.
所以的單調(diào)減區(qū)間為
,函數(shù)
的增區(qū)間是
.
(Ⅱ)令
,
所以
.
因?yàn)?/span>,
所以.
令,得
.
所以當(dāng),
;
當(dāng)時,
.
因此函數(shù)在
是增函數(shù),在
是減函數(shù).
故函數(shù)的最大值為
.
令,因?yàn)?/span>
,
又因?yàn)?/span>在
是減函數(shù).
所以當(dāng)時,
,
即對于任意正數(shù)總有
.
所以關(guān)于的不等式
恒成立.
(Ⅲ)由,
即
,
從而
.
令,則由
得,
.
可知,在區(qū)間
上單調(diào)遞減,在區(qū)間
上單調(diào)遞增.
所以,
所以,
又,
因此成立.
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【題目】袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球,從A中摸出一個紅球的概率是 ,從B中摸出一個紅球的概率為p.
(1)從A中又放回的摸球,每次摸出一個,共摸5次 ①恰好有3次摸到紅球的概率;
②第一次、第三次、第五次摸到紅球的概率.
(2)若A、B兩個袋子中的球之比為12,將A、B中的球裝在一起后,從中摸出一個紅球的概率是 ,求p的值.
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,且△ABC的面積S=2
,求b,c的值;
(2)若sin(C﹣B)=sin2B﹣sinA,試判斷△ABC的形狀.
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【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)
處的切線方程;
(Ⅱ)求證: ;
(Ⅲ)判斷曲線是否位于
軸下方,并說明理由.
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【題目】已知橢圓過點(diǎn)
,橢圓
的左焦點(diǎn)為
,右焦點(diǎn)為
,點(diǎn)
是橢圓
上位于
軸上方的動點(diǎn),且
,直線
與直線
分別交于
兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及線段
的長度的最小值;
(2)是橢圓
上一點(diǎn),當(dāng)線段
的長度取得最小值時,求
的面積的最大值.
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,
內(nèi)的頻率之比為
.
(Ⅰ)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率;
(Ⅱ)若將頻率視為概率,從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件,記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為
,求
的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1﹣nan(n∈N*)
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