Question

已知數(shù)列各項均為正數(shù)，，且對于正整數(shù)時，都有。

    （I）當(dāng)，求的值，并求數(shù)列的通項公式；

    （II）證明：對于任意，存在與有關(guān)的常數(shù)，使得對于每個正整數(shù)，都有。

Answer 1

解：（I）令，則

    將代入上式，得（*）

    ∴，，

    且，

    故為等比數(shù)列，且，

∴，∴。

    （II）由題設(shè)值僅與有關(guān)，設(shè)為。

    則，

考察函數(shù)，則在定義域上有

    故對恒成立，又，

    注意到，解上式得

    ，

    取，即有。