Question

【題目】如圖，在長方體中，，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積；

（3）求直線與直線所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】

（1）利用三角形的中位線和梯形的中位線的性質(zhì)得到線線平行，利用面面平行的判定定理證得平面平面，利用面面平行的性質(zhì)得到平面；

（2）將三棱錐的頂點和底面轉(zhuǎn)換，之后利用椎體體積公式求得結(jié)果；

（3）利用異面直線所成角的定義，得到（或其補角）是目標，之后應用余弦定理求得結(jié)果.

（1）作的中點，連接，.

又為的中點，

∴為的中位線，.

又為的中點，

∴為梯形的中位線，∴.

在平面中，，

在平面中，，

∴平面平面，

又平面，∴平面.

（2）

.

故所求三棱錐的體積為.

（3）連接，，因為在長方體中，，

且，又點在直線上，

所以直線與直線所成角即為與所成的角，

即是（或其補角）.

在中，，，.

由余弦定理得，

故所求直線與直線所成角的余弦值為.