Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，點A為橢圓的左頂點，橢圓上的點P在第一象限，PF₁⊥PF₂，⊙O的方程為x²+y²=4
（1）求點P坐標(biāo)，并判斷直線PF₂與⊙O的位置關(guān)系；
（2）是否存在不同于點A的定點B，對于⊙O上任意一點M，都有為常數(shù)，若存在，求所以滿足條件的點B的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用PF₁⊥PF₂，以及點P在橢圓上聯(lián)立即可求點P坐標(biāo)以及直線PF₂的方程，再利用圓心到直線的距離和半徑相比即可判斷直線PF₂與⊙O的位置關(guān)系；
（2）假設(shè)存在，代入為常數(shù)利用等式對所有的點M成立來求滿足條件的點B的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)點P坐標(biāo)（m，n），因為PF₁⊥PF₂，所以有=0故有⇒．
又因為點P在第一象限
所以P（，）．
故=-2．直線PF₂的方程為2x+y-2=0．
又因為（0，0）到直線PF₂的距離d=2=r．
故直線PF₂與⊙O的位置關(guān)系是相切．
（2）設(shè)B（a，b），M（x，y），為常數(shù)，⇒（x-a）²+（y-b）²=k（x+3）²+ky²．又因為x²+y²=4．
所以有4-2ax-2by+a²+b²-4k-6kx-9k=0⇒x（-2a-6k）-2by+a²+b²+4-13k=0．對所有x，y都成立，所以 ⇒或
又因為定點B不同于點A，故所求點B為（-，0）．
點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當(dāng)判斷直線與圓的位置關(guān)系時，可以利用圓心到直線的距離與半徑的大小相比求解．，也可以把直線與圓的方程聯(lián)立利用對應(yīng)方程的判別式與0的大小關(guān)系求解．