Question

已知定點A（a，0）和橢圓x²+2y²=8上的動點P（x，y）
（1）a=2且|PA|=

3 2

2

，計算點P的坐標(biāo)；
（2）若0＜a＜3且|PA|的最小值為1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a=2，得A點的坐標(biāo)，從而得到|PA|=

(x-2)2+y2

=

3 2

2

，再結(jié)合橢圓的方程x²+2y²=8聯(lián)解可得x=1或7（其中x=7＞2

2

不合題意舍去），回代到方程組中可以求出y的值，從而得出點P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），可得|PA|²=（x-a）²+y²，再根據(jù)橢圓方程得到y2=4-

x2

2

代入上式，得關(guān)于x的二次函數(shù)g（x）=

1

2

x2-2ax+a2+4，再討論它的對稱軸x=2a與3的大小關(guān)系，得到g（x）在區(qū)間[- 2

2

，2

2

]的最小值的兩種不同情況，進(jìn)行分類討論，最后解關(guān)于a的方程，綜合可得實數(shù)a的值．

解答：解：（1）若a=2，則A（2，0），設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），
由|PA|=

3 2

2

，可得(x-2)2+y2=

9

2

…①…（3分）
∴

2(x-2)2+2y2=9  x2+2y2=8

，消去y得x²-8x+7=0，
解之得x=1或7，其中x=7＞2

2

不合題意舍去．…（5分）
將x=1代入①，解得

x=1 y=± 14 2

，
所以點P的坐標(biāo)為(1， ±

14

2

)…（7分）
（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），可得|PA|²=（x-a）²+y²
將y2=4-

x2

2

代入上式，
得|PA|²=

1

2

x2-2ax+a2+4（其中- 2

2

≤x≤2

2

）…（9分）
令g（x）=

1

2

x2-2ax+a2+4，
g（x）是一個二次函數(shù)，其對稱軸方程為x=2a
①若0＜2a＜2

2

，即0＜a＜

2

，
則g（x）_min=g（2a）=4-a²=1，
解得a=±

3

（舍去）…（11分）
②若2

2

≤2a＜6，即

2

≤a＜3，
則g(x)min=g(2

2

)=8-4

2

a+a2=1，
解得a=2

2

±1，其中a=2

2

+1不合題意，舍去．
所以a=2

2

-1…（13分）
綜上可知，a=2

2

-1．…（14分）

點評：本題對圓錐曲線中的距離計算和距離的最小值的問題加以研究，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和二次函數(shù)求閉區(qū)間上的最值等知識點，屬于中檔題．