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        1. (1)求證:Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1 (n∈N*)
          (2)設n是滿足Cn+2Cn1+3Cn2+…+(n+1)•Cnn<1000的最大正整數(shù),求97n除以99的余數(shù).
          (3)當n∈N*且n>1時,求證2<(1+n<3.
          【答案】分析:(1)直接采用倒序相加法再結合組合數(shù)的性質即可證明結論;
          (2)先對Cn+2Cn1+3Cn2+…+(n+1)•Cnn進行整理,結合第一問的結論求出滿足Cn+2Cn1+3Cn2+…+(n+1)•Cnn<1000的最大正整數(shù)n;再根據(jù)977=(99-2)7=C7•997-C71•996•2+…+C76•99•26-C77•27,把問題轉化為-C77•27除以99的余數(shù)即可;
          (3)直接根據(jù)(1+n=cn+Cn1+Cn2+…+Cnn•(n只用前兩項即可證明不等式的前半部分;再通過組合數(shù)的性質對等式右邊進行放縮即可證明右邊.
          解答:證明:(1)記S=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn
          倒序則S=nCnn+(n-1)Cnn-1+…+Cn1 (2分)
          ∴2S=ncn+nCn1+…+nCnn=n•2n
          ∴S=n•2n-1 …(2分)
          解:(2)Cn+2Cn1+3Cn2+…+(n+1)Cnn
          =(Cn+Cn1+…Cnn)+(Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn) (1分)
          =2n+n•2n-1<1000
          由于7•26+27=576<1000<1280=8•27+28,
          ∴n=7  …(2分)
          977=(99-2)7=C7•997-C71•996•2+…+C76•99•26-C77•27
          ∴97n除以99的余數(shù)即為-C77•27除以99的余數(shù)70  (2分)
          證明:(3)∵(1+n=cn+Cn1+Cn2+…+Cnn•(n>cn+Cn1=2 (1分)
          ∵cn+Cn1+Cn2+…+Cnn•(n
          =2++…+
          <2++…+(2分)
          <2++…+
          =2+(1-)+…+(-
          =3-<3 (2分)
          點評:本題主要考查二項式定理的應用,屬于中等難度題型,在處理有關二項式定理有關系數(shù)問題時要熟記結論以及性質.
          練習冊系列答案
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