Question

設(shè)數(shù)列滿足且
（Ⅰ）求的值，使得數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）令數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，求極限的值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），．
（Ⅲ）

（Ⅰ）令，其中為常數(shù)，若為等比數(shù)列，則存在使得
．
又．
所以．
由此得2分
由及已知遞推式可求得，把它們代入上式后得方程組
  消去解得．…4分
下面驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列．
 ，
，從而是公比為的等比數(shù)列．
同理可知是公比為的等比數(shù)列，于是為所求．……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)果得，，解得
，．…9分
（Ⅲ）令數(shù)列的通項(xiàng)公式為，它是公比為的等比數(shù)列，令其前項(xiàng)和為；令數(shù)列的通項(xiàng)公式為，它是公比為的等比數(shù)列，令其前項(xiàng)和為． 由第（Ⅱ）問(wèn)得，．
． 由于數(shù)列的公比，則．
，由于，則，
于是，所以……12