Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+bx2+cx，b，c∈R，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞減．
（Ⅰ）若b=-2，求c的值；
（Ⅱ）求證：c≥3．

Answer 1

分析：（1）由題意得x=1是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），根據(jù)f^‘（1）=0即可求得c；
（2）根據(jù)第一問(wèn)可知b=-

c+1

2

，將其代入f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，研究它的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合圖象法求出c的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得f'（1）=0
又f'（x）=x²+2bx+c
f'（1）=1+2b+c=0，
將b=-2代入，可得c=3
（Ⅱ）可知b=-

c+1

2

，代入f′（x）可得f′（x）=x²-（c+1）x+c．
令f'（x）=0，則x₁=1，x₂=c．
又當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f'（x）≥0，當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f'（x）≤0
如圖所示；
易知c≥3．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，極值，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．