Question

如圖，∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在線段OB上任取一點(diǎn)C．求：
（Ⅰ）△AOC的面積小于

3

2

sin

2π

3

的概率P₁；
（Ⅱ）△AOC為鈍角三角形的概率P₂．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出：（Ⅰ）△AOC的面積等于

3

2

sin

2π

3

=

3 3

4

時(shí)OC的長(zhǎng)度，用此長(zhǎng)度除以線段OB的長(zhǎng)，即得所求的概率P₁．
（Ⅱ）△AOC為鈍角三角形時(shí)，∠ACO為鈍角，或∠OAB是鈍角，分別求出∠ACO為鈍角的概率，和∠OAB是鈍角的概率，
將求出的這兩個(gè)概率相加，即得△AOC為鈍角三角形的概率．

解答：解：（Ⅰ）△AOC的面積等于

3

2

sin

2π

3

=

3 3

4

時(shí)，由 

3 3

4

=

1

2

×OC×2sin60°=

3

2

 OC，
∴OC=

3

2

，∴△AOC的面積小于

3

2

sin

2π

3

的概率P₁=

3 2

5

=

3

10

．
（Ⅱ）△AOC為鈍角三角形時(shí)，∠ACO為鈍角，或∠OAB是鈍角．
當(dāng)∠ACO=90°時(shí)，有勾股定理可求 OC=1，故∠ACO為鈍角的概率為

1

5

．
∠OAB=90°時(shí)，由直角三角形中的邊角關(guān)系 可得OC=4，BC=1，∠OAB是鈍角的概率為

1

5

，
綜上，△AOC為鈍角三角形的概率等于

1

5

+

1

5

=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，幾何概型的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．