Question

在三棱錐O-ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC=1，OA=x，OB=y，x+y=4，當(dāng)三棱錐O-ABC的體積最大時(shí)，異面直線AB與OC的距離等于

2

．

Answer 1

分析：V=

1

3

S△ABC•OC=

1

3

•

1

2

xy≤

1

6

•(

x+y

2

)2=

2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2（因?yàn)閤+y=4）時(shí)，V取最大值．由此能夠推導(dǎo)出OE就是異面直線OC與AB的公垂線，由此能求出異面直線AB與OC的距離．

解答：解：V=

1

3

S△ABC•OC=

1

3

•

1

2

xy≤

1

6

•(

x+y

2

)2=

2

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2（因?yàn)閤+y=4）時(shí)，
V取最大值．
取AB的中點(diǎn)E，連接OE，
則OE⊥AB，且OE=

1

2

AB=

2

，
又因?yàn)镺C⊥面OAB
∴OC⊥OE，
所以O(shè)E就是異面直線OC與AB的公垂線，
其長為

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評：本題考查空間異面直線AB與OC的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．