Question

【題目】已知函數(shù) ，且f（1）=1，f（﹣2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定點(diǎn)A（1，0），設(shè)點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)y=f（x）（x＜﹣1）圖象上的任意一點(diǎn)，求|AP|的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（1）=1，f（﹣2）=4．

得

解得：

（2）解：由（1） ，

所以 ，

令x+1=t，t＜0，

則

=

因?yàn)閤＜﹣1，所以t＜0，

所以，當(dāng) ，

所以 ，

即AP的最小值是 ，此時(shí) ，

點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ．

（3）解：?jiǎn)栴}即為 對(duì)x∈[1，2]恒成立，

也就是 對(duì)x∈[1，2]恒成立，

要使問(wèn)題有意義，0＜m＜1或m＞2．

法一：在0＜m＜1或m＞2下，問(wèn)題化為 對(duì)x∈[1，2]恒成立，

即 對(duì)x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m對(duì)x∈[1，2]恒成立，

①當(dāng)x=1時(shí)， 或m＞2，

②當(dāng)x≠1時(shí)， 且 對(duì)x∈（1，2]恒成立，

對(duì)于 對(duì)x∈（1，2]恒成立，等價(jià)于 ，

令t=x+1，x∈（1，2]，則x=t﹣1，t∈（2，3]， ，t∈（2，3]遞增，

∴ ， ，結(jié)合0＜m＜1或m＞2，

∴m＞2

對(duì)于 對(duì)x∈（1，2]恒成立，等價(jià)于

令t=x﹣1，x∈（1，2]，則x=t+1，t∈（0，1]，

，t∈（0，1]遞減，

∴ ，

∴m≤4，

∴0＜m＜1或2＜m≤4，

綜上：2＜m≤4（16分）

法二：?jiǎn)栴}即為 對(duì)x∈[1，2]恒成立，

也就是 對(duì)x∈[1，2]恒成立，

要使問(wèn)題有意義，0＜m＜1或m＞2．

故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x|x﹣m|≤m對(duì)x∈[1，2]恒成立，

令g（x）=x|x﹣m|

①若0＜m＜1時(shí)，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]時(shí)單調(diào)遞增，

依題意g（2）≤m， ，舍去；

②若m＞2，由于x∈[1，2]，故 ，

考慮到 ，再分兩種情形：

（ⅰ） ，即2＜m≤4，g（x）的最大值是 ，

依題意 ，即m≤4，

∴2＜m≤4；

（ⅱ） ，即m＞4，g（x）在x∈[1，2]時(shí)單調(diào)遞增，

故g（2）≤m，

∴2（m﹣2）≤m，

∴m≤4，舍去．

綜上可得，2＜m≤4

【解析】（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4，代入可方程，解方程即可求得關(guān)于a，b的解a，b；（2）由（1）可知 ，利用兩點(diǎn)間的距離個(gè)公式代入 ，結(jié)合x(chóng)的范圍可求x+1=t＜0，然后結(jié)合基本不等式式即可求解（3）問(wèn)題即為 對(duì)x∈[1，2]恒成立，即 對(duì)x∈[1，2]恒成立，則0＜m＜1或m＞2．法一：?jiǎn)栴}化為 對(duì)x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m對(duì)x∈[1，2]恒成立，從而可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解法二：?jiǎn)栴}即為 對(duì)x∈[1，2]恒成立，即 對(duì)x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x|x﹣m|≤m對(duì)x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求