Question

某同學(xué)設(shè)計(jì)一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲：箱內(nèi)有紅球3個(gè)，白球4個(gè)，黑球5個(gè)．每次任取一個(gè)，有放回地抽取3次為一次摸獎(jiǎng)．至少有兩個(gè)紅球?yàn)橐坏泉?jiǎng)，記2分；紅、白、黑球各一個(gè)為二等獎(jiǎng)，記1分；否則沒(méi)有獎(jiǎng)，記0分．
（I）求一次摸獎(jiǎng)中一等獎(jiǎng)的概率；
（II）求一次摸獎(jiǎng)得分的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）每次有放回地抽取，取到紅球的概率為P1=

3

12

=

1

4

；取到白球的概率為P2=

4

12

=

1

3

；取到黑球的概率為P3=

5

12

；由此能求出一次摸獎(jiǎng)中一等獎(jiǎng)的概率．
（II）設(shè)ξ表示一次摸獎(jiǎng)的得分，則ξ可能的取值為0，1，2.P(ξ=2)=

5

32

；P(ξ=1)=

A

3 3

1

4

•

1

3

•

5

12

=

5

24

；由此能求出一次摸獎(jiǎng)得分ξ的分布列和期望．

解答：解：（I）每次有放回地抽取，取到紅球的概率為P1=

3

12

=

1

4

；取到白球的概率為P2=

4

12

=

1

3

；取到
黑球的概率為P3=

5

12

；
一次摸獎(jiǎng)中一等獎(jiǎng)的概率為P=

C

2 3

(

1

4

)2(

3

4

)+(

1

4

)3=

5

32

．
（II）設(shè)ξ表示一次摸獎(jiǎng)的得分，則ξ可能的取值為0，1，2.P(ξ=2)=

5

32

；P(ξ=1)=

A

3 3

1

4

•

1

3

•

5

12

=

5

24

；P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=2)=

61

96

∴一次摸獎(jiǎng)得分ξ的分布列為

ξ	2	1	0
P	5 32	5 24	61 96

期望為Eξ=2×

5

32

+1×

5

24

+0×

61

96

=

25

48

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰好發(fā)生k次的概率，解題時(shí)要注意離散型隨機(jī)變量ξ的分布列和期望的求法．