Question

如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求證：EF⊥B₁C；
（3）求三棱錐VB1-EFC的體積．

Answer 1

分析：（1）欲證EF∥平面ABC₁D₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面ABC₁D₁內(nèi)一直線平行，連接BD₁，在△DD₁B中，E、F分別為D₁D，DB的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理可知EF∥D₁B，滿足定理所需條件；
（2）先根據(jù)線面垂直的判定定理證出B₁C⊥平面ABC₁D₁，而BD₁?平面ABC₁D₁，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知B₁C⊥BD₁，而EF∥BD₁，根據(jù)平行的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）可先證CF⊥平面EFB₁，根據(jù)勾股定理可知∠EFB₁=90°，根據(jù)等體積法可知VB1-EFC=V _C-B1EF，即可求出所求．

解答：解：（1）證明：連接BD₁，如圖，在△DD₁B中，E、F分別為D₁D，DB的中點(diǎn)，則

EF∥D1B D1B?平面ABC1D1 EF?平面ABC1D1

?EF∥平面ABC₁D₁．
（2）

B1C⊥AB B1C⊥BC1 AB，B1C?平面ABC1D1 AB∩BC1=B

?

B1C⊥平面ABC1D1 BD1?平面ABC1D1

?

B1C⊥BD1 EF∥BD1

?EF⊥B1C
（3）∵CF⊥平面BDD₁B₁，∴CF⊥平面EFB₁且CF=BF=

2

，
∵EF=

1

2

BD1=

3

，B1F=

BF2+BB12

=

( 2 )2+22

=

6

，
B1E=

B1D12+D1E2

=

12+(2 2 )2

=3
∴EF²+B₁F²=B₁E²即∠EFB₁=90°，
∴VB1-EFC=VC-B1EF=

1

3

•S△B1EF•CF
=

1

3

×

1

2

•EF•B1F•CF=

1

3

×

1

2

×

3

×

6

×

2

=1

點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行的判定，以及線面垂直的性質(zhì)和三棱錐體積的計(jì)算，同時(shí)考查了空間想象能力、運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．