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        1. 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2,由頂點B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱AA1到頂點C1的最短路線與AA1的交點記為M,求:
          (I)三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長
          (II)該最短路線的長及的值
          (III)平面C1MB與平面ABC所成二面角(銳角)的大小

          【答案】分析:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開圖是長為6,寬為2的矩形,直接可以求出對角線長;
          (2)將側(cè)面AA1B1B繞棱AA1旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA1C1C在同一平面上,點B運動到點D的位置,連接DC1交AA1于M,則DC1就是由頂點B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱AA1到頂點C1的最短路線,求出DC1的值即可;
          (3)連接DB,C1B,可證∠C1BC就是平面C1MB與平面ABC所成二面角的平面角,在三角形C1BC中求出此角.
          解答:解:(I)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開圖是長為6,寬為2的矩形
          其對角線長為

          (II)如圖,將側(cè)面AA1B1B繞棱AA1旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA1C1C在同一平面上,點B運動到點D的位置,連接DC1交AA1于M,則DC1就是由頂點B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱AA1到頂點C1的最短路線,其長為∵△DMA≌△C1MA1,∴AM=A1M


          (III)連接DB,C1B,
          則DB就是平面C1MB與平面ABC的交線在△DCB中,
          ∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°,
          ∴CB⊥DB,
          又C1C⊥平面CBD,
          由三垂線定理得C1B⊥DB,∴∠C1BC就是平面C1MB與平面ABC所成二面角的平面角(銳角),
          ∵側(cè)面C1B1BC是正方形,∴∠C1BC=45°,
          故平面C1MB與平面ABC所成的二面角(銳角)為45°.
          點評:本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、棱柱等基本知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.
          練習(xí)冊系列答案
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          精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,若二面角C-AB-C1的大小為60°,則點C到平面C1AB的距離為(  )
          A、
          3
          4
          B、
          1
          2
          C、
          3
          2
          D、1

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          精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E、G分別是AB、BB1、AC1的中點,AB=BB1=2.
          (Ⅰ)在棱B1C1上是否存在點F使GF∥DE?如果存在,試確定它的位置;如果不存在,請說明理由;
          (Ⅱ)求截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值;
          (Ⅲ)求B1到截面DEG的距離.

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          精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4,AB=2,M是AC的中點,點N在AA1上,AN=
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          (Ⅰ)求BC1與側(cè)面ACC1A1所成角的大;
          (Ⅱ)求二面角C1-BM-C的正切值;
          (Ⅲ)證明MN⊥BC1

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          (2012•馬鞍山二模)如圖,在正三棱柱ABC一DEF中,AB=2,AD=1,P是CF的延長線上一點,過A、B、P三點的平面交FD于M,交EF于N.
          (I)求證:MN∥平面CDE:
          (II)當(dāng)平面PAB⊥平面CDE時,求三梭臺MNF-ABC的體積.

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