Question

（選做題）已知點(diǎn)P（1+cosα，sinα），參數(shù)α∈[0，π]，點(diǎn)Q在曲線C：ρ=

10

- 2 sin(θ+ π 4 )

上．
（I）求點(diǎn)P的軌跡方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（II）求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（I）由

x=1+cosα y=sinα

消去α得點(diǎn)P的軌跡方程，利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得C的直角坐標(biāo)方程
（II）根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求解|PQ|的最小值

解答：解：（I）由

x=1+cosα y=sinα

消去α得點(diǎn)P的軌跡方程為（x-1）²+y²=1，（y≥0）．
C：ρ=

10

- 2 sin(θ+ π 4 )

即為-

2

ρsin（θ+

π

4

）=10，-（ρsinθ+ρcosθ）=10
直角坐標(biāo)方程為x+y=-10．
（II）點(diǎn)P的軌跡是以（1，0）為圓心，以1為半徑的上半圓，當(dāng)Q為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，
|PQ|的最小值=5

2

點(diǎn)評：本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化及參數(shù)方程與普通方程的互化，能在直角坐標(biāo)系中利用數(shù)形結(jié)合的思想求出最值，屬于基礎(chǔ)題．本題要注意P的軌跡是半圓．