Question

已知函數(shù)，其中是常數(shù)且.

（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（3）設(shè)是正整數(shù)，證明：.

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）當(dāng)時(shí)， 的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)， 的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)法，然后才有分離參數(shù)的思路進(jìn)行求解； （2）明確函數(shù)的解析式，利用求導(dǎo)法和分類(lèi)討論進(jìn)行求解；（3）用代替中的得到，再證明不等式成立.

試題解析：（1）∵，則，∴，

∵當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，∴在時(shí)恒成立.      （2分）

即在時(shí)恒成立. ∵當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，，∴.          （4分）

（2）∵，∴，

∴，                  （5分）

∴當(dāng)時(shí)，由得或，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，由得或，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.                                    （9分）

（3）由（1）知，當(dāng)，時(shí)，在時(shí)增函數(shù)，

∴，即，∴，

∵，∴，∴，

即，             （12分）

∴

∴.         （14分）

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性,不等式的證明.