Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個動點(diǎn)，且∠F₁PF₂的最大值為90°，直線l過左焦點(diǎn)F₁與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△ABF₂的面積最大值為12．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，當(dāng)P是橢圓短軸的頂點(diǎn)時，∠F₁PF₂ 取最大值為90°，故有 b=c，離心率

c

a

=

2

2

．
（2）由（1）知，可設(shè)橢圓方程：

x2

2c2

+

y2

c2

= 1，c＞0，當(dāng)直線l垂直于x軸時，△ABF₂的面積為

2

 c²，令

2

 c²=12 可得橢圓的方程為

x2

12 2

+ 

y2

6 2

=1．當(dāng)直線l不垂直于x軸時，△ABF₂的面積 S=

1

2

•AB•h
=

1

2

•

2 2 c(1+k2)

1+2k2

•2c

|K|

1+K2

≤

2

c2，故所求的橢圓的方程為

x2

12 2

+ 

y2

6 2

=1．

解答：解：（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，當(dāng)P是橢圓短軸的頂點(diǎn)時，∠F₁PF₂ 取最大值為90°，∴b=c，
∴a=

2

c，∴離心率

c

a

=

2

2

．
（2）由（1）知，可設(shè)橢圓方程：

x2

2c2

+

y2

c2

= 1，c＞0，當(dāng)直線l垂直于x軸時，
直線l的方程為 x=-c，△ABF₂ 為等腰三角形，把x=-c  代入橢圓可得 y=±

2

2

c．
△ABF₂的面積為 

1

2

•

2

 c•2c=

2

 c²．令

2

 c²=12，c²=6

2

，
橢圓的方程為

x2

12 2

+ 

y2

6 2

=1．
當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的方程為 y-0=k（x+c），代入橢圓的方程可得 
（1+2k²）x² +4c k²x+2c²（k²-1）=0，∴x₁+x₂ =

-4ck2

1+ 2k2

，x₁x₂=

2c2(k2-1)

1+  2k2

．
∴AB=

1+k2

|x1-x2|=

2 2 c(1+k2)

1+2k2

，AB邊上的高h(yuǎn)=2c•sin∠BF₁F₂=2c

|K|

1+K2

，
∴△ABF₂的面積 S=

1

2

•AB•h=

1

2

•

2 2 c(1+k2)

1+2k2

•2c

|K|

1+K2

 
=2

2

c²•

1+k2 |k|

1+2k2

=2

2

c2•

k2+k4 1+4k2+4k4

=2

2

c2•

1 4+ 1 k4+k2

≤

2

c2，
 故S的最大值為

2

c2，此時，橢圓的方程為

x2

12 2

+ 

y2

6 2

=1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，得到S的最大值為

2

c2，是
解題的難點(diǎn)，屬于中檔題．