Question

我們把由半橢圓(x≥0)與半橢圓(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”，其中a²＝b²＋c²，a＞0，b＞c＞0．

如圖，設(shè)點(diǎn)F₀，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圓”與x，y軸的交點(diǎn)，M是線段A₁A₂的中點(diǎn)．

(1)若△F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；

(2)設(shè)P是“果圓”的半橢圓(x≤0)上任意一點(diǎn)．求證：當(dāng)|PM|取得最小值時(shí)，P在點(diǎn)B₁，B₂或A₁處；

(3)若P是“果圓”上任意一點(diǎn)，求|PM|取得最小值時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)， 　　， 　　于是， 　　所求“果圓”方程為，; 　　(2)設(shè)，則 　　 　　， 　　，的最小值只能在或處取到． 　　即當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處; 　　(3)，且和同時(shí)位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由(2)知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可． 　　 　　． 　　當(dāng)，即時(shí)，的最小值在時(shí)取到，此時(shí)的橫坐標(biāo)是． 　　當(dāng)，即時(shí)，由于在時(shí)是遞減的，的最小值在時(shí)取到，此時(shí)的橫坐標(biāo)是． 　　綜上所述，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或．