Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，na_n=S_n+2n（n-1），n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）是否存在正整數(shù)n使得S1+

S2

2

+…+ 

Sn

n

 -(n-1)2=2009？若存在，求出n值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)na_n=S_n+2n（n-1），寫出當(dāng)n≥2時(shí)（n-1）a_n-1=S_n-1+2（n-1）²-2（n-1），通過(guò)作差，證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）求出了的前n項(xiàng)和，求出

Sn

n

的表達(dá)式．然后利用等差數(shù)列求和，利用等式求出n的值即可．

解答：解：（1）因?yàn)閚a_n=S_n+2n（n-1），
當(dāng)n≥2時(shí)（n-1）a_n-1=S_n-1+2（n-1）²-2（n-1），
兩式作差，有（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=4n-4，
⇒a_n-a_n-1=4，
又a₁=1，所以a_n=4n-3；
（2）由（1）可知數(shù)列是等差數(shù)列，
所以S_n=

n(1+4n-3)

2

=n（2n-1）⇒

Sn

n

=2n-1，
假設(shè)存在n滿足題設(shè)條件，則（2-1）+（2×2-1）+（2×3-1）+…+（2n-1）-（n-1）²=2009，
1+3+5+…+（2n-1）-（n-1）²=2009，

n(1+2n-1)

2

-（n-1）²=2009，
即2n-1=2009，所以n=1005．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的判斷與證明，通項(xiàng)公式的求法，前n項(xiàng)和的求法，考查計(jì)算能力．