Question

（2012•南充三模）（1）已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為q，S_n為前n項(xiàng)和，試推導(dǎo)公式S_n=

na1(q=1) a1(1-qn) 1-q (q≠1)

；
（2）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．滿足：S_n=n²-n（n∈N^*），又?jǐn)?shù)列{b_n}滿足：a_n+log₃n=log₃b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由于S_n=a₁+a₁q+a1q2+…+a1qn-1 ①，故當(dāng)q=1時(shí)，S_n=n a₁．當(dāng)q≠1時(shí)，qS_n=a₁q+a1q2+…a1qn-1+a1qn ②，兩式相減求得S_n的解析式．
（2）根據(jù) a_n 與 S_n 的關(guān)系求出 a_n，再由a_n+log₃n=log₃b_n，及對對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出b_n=n3^2（n-1）．用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n ．

解答：（1）解：已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為q，S_n為前n項(xiàng)和，故S_n=a₁+a₁q+a1q2+…+a1qn-1 ①．
當(dāng)q=1時(shí)，S_n=n a₁．
當(dāng)q≠1時(shí)，qS_n=a₁q+a1q2+…a1qn-1+a1qn ②．
①-②可得 （1-q）S_n=a₁-a1qn=a₁（1-qⁿ），
∴S_n=

a1(1-qn)

1-q

 （q≠1）．
綜上可得

na1(q=1) a1(1-qn) 1-q (q≠1)

．
（2）解：S_n=n²-n（n∈N^*），
∴a₁=s₁=0，n≥2時(shí)，a_n=S_n-s_n-1=2（n-1）．
綜上可得 a_n=2（n-1）．
又?jǐn)?shù)列{b_n}滿足：a_n+log₃n=log₃b_n，∴l(xiāng)og₃b_n -log₃n=a_n=2（n-1），
∴

bn

n

=3^2（n-1），b_n=n×3^2（n-1）．
故數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n =1×3⁰+2×3²+3×3⁴+…+n3^2（n-1），
故9T_n =1×3²+2×3⁴+3×3⁶+…+（n-1）3^2（n-1）+n 3²ⁿ，
相減可得-8 T_n =1+3²+3⁴+…+3^2（n-1）-n 3²ⁿ=

32n-1

8

-n 3²ⁿ，
∴T_n =

(8n-1)32n+1

64

．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和，屬于中檔題．