Question

已知函數(shù)f(x)=ax³+bx²+c(x∈R)的圖像與直線15x-y+10=0切于點(diǎn)(-1，-5)，且函數(shù)f(x)在x=4處取得極值．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)求f(x)的極值；

(Ⅲ)當(dāng)x∈[-m，m]時(shí)，求f(x)最大值．

Answer 1

解：(1)f′(x)=3 ax²+2bx

∵f(x)的圖像與直線15x-y+10=0切于點(diǎn)(-1，-5)

∴        ①

又f(x)在x=4處取得極值，∴48a+8b=0②

由①②得∴

∴f(x)=x³-6x²+2

(Ⅱ)f′(x)=3x²-12x=3x(x-4)

令f′(x)=3x(x-4)=0得x=0，x=4

列表如下：

x	(-∞,0)	0	(0,4)	4	(4,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)		2		-30

從而當(dāng)x=0時(shí)，f(x)的極大值為2

從而當(dāng)x=4時(shí)，f(x)的極小值為-30

(Ⅲ)據(jù)(Ⅱ)知f(0)=2是極大值，在(4，+∞)內(nèi)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，并且可驗(yàn)證f(6)=2，據(jù)已知條件知m＞0

當(dāng)0＜m≤6時(shí),f(x)的最大值是f(0)=2

當(dāng)m＞6時(shí)，f(x)的最大值是m³-6m²+2