Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，公差d＞0，前n項和為S_n且滿足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．對于數(shù)列{b_n}，其通項公式bn=

Sn

n+C

，如果數(shù)列{b_n}也是等差數(shù)列．
（1）求非零常數(shù)C的值；      
（2）試求函數(shù)f(n)=

bn

(n+36)bn+1

（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù){a_n}為等差數(shù)列，及a₃•a₄=117，a₂+a₅=22知a₃，a₄是方程x²-22x+117=0的兩個根，結(jié)合d＞0，可得a₃=9，a₄=13，從而可求a_n=4n-3，進一步可得通項公式bn=

Sn

n+C

，利用數(shù)列{b_n}也是等差數(shù)列，即可求得非零常數(shù)C的值；
（2）f(n)=

bn

(n+36)bn+1

=

2n

(n+36)2(n+1)

=

n

n2+37n+36

=

1

n+ 36 n +37

，利用基本不等式，即可求f（n）的最大值．

解答：解：（1）∵{a_n}為等差數(shù)列，∴a₃+a₄=22…（1分）
由a₃•a₄=117，a₃+a₄=22知a₃，a₄是方程x²-22x+117=0的兩個根
又d＞0
∴a₃=9，a₄=13                                      …（2分）
∴d=4，a₁=1
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3                            …（3分）
∴Sn=

a1+an

2

=

n(1+4n-3)

2

=n(2n-1)…（4分）
∴bn=

n(2n-1)

n+c

∵數(shù)列{b_n}也是等差數(shù)列
∴2b₂=b₁+b₃…（6分）
解得：c=-

1

2

或0（舍）
當c=-

1

2

時，b_n=2n滿足題意．                      …（7分）
（2）∵f(n)=

bn

(n+36)bn+1

=

2n

(n+36)2(n+1)

=

n

n2+37n+36

=

1

n+ 36 n +37

≤

1

2 36 +37

=

1

49

當且僅當n=

36

n

即n=6時取等號．
∴f（n）的最大值為

1

49

．                             …（14分）

點評：本題考查等差數(shù)列的通項與求和，考查運用基本不等式，求函數(shù)的最值，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．