Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若不等式對于任意成立，求正實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增. (2)

【解析】試題分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）原題等價于對任意，有成立，設，所以.

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域為，

，

若，則

當或時，單調(diào)遞增；

當時，單調(diào)遞減，

若，則

當時，單調(diào)遞減；

當時，單調(diào)遞增.

綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.

（2）原題等價于對任意，有成立，

設，所以，

，

令，得；令，得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

為與中的較大值，

設，

則，

所以在上單調(diào)遞增，故，所以，

從而，

所以，即，

設，則，

所以在上單調(diào)遞增，

又，所以的解為，

因為，所以正實數(shù)的取值范圍為.