Question

（本題滿分15分 ）已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）在處取得最大值，且最大值為0．（2）． （3）見解析。

【解析】(1)先求出 ,然后求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間，極值，最值即可.

(2) 本小題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為,然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究出h(x)的最大值，再利用基礎(chǔ)不等式可知,從而可知a的取值范圍.

（1），則．…………2分

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，

所以，在處取得最大值，且最大值為0．     ………………………4分

（2）由條件得在上恒成立．           ………………………6分

設(shè)，則．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，．

要使恒成立，必須．                  ………………………8分

另一方面，當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，必須．

所以，滿足條件的的取值范圍是．            ………………………10分

（3）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于．……12

令，設(shè)，則，

在上單調(diào)遞增，，

所以，原不等式成立．          ………………15分