Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、M、N分別為棱DD₁、AB、BC的中點．
（1）求二面角B₁MNB的正切值；
（2）求證：PB⊥平面MNB₁；
（3）若正方體的棱長為1，畫出一個正方體表面展開圖，使其滿足“有4個正方形面相連成一個長方形”的條件，并求出展開圖中P、B兩點間的距離．

Answer 1

分析：（1）要求二面角B₁-MN-B的正切值，我們要先找出二面角的平面角，再構(gòu)造三角形，解三角形求出其正切值．
（2）要證明PB⊥平面MNB₁，需利用題設(shè)條件推導出PB⊥MB₁，PB⊥MN，由此能夠證明PB⊥平面MNB₁．
（3）由正方體12種展開圖，選其中“1-4-1”的情況，再標識出P點即可，從而可求PB．

解答：（1）解：連接BD，交MN于點F，連接B₁F，
∵平面DD₁B₁B⊥平面ABCD，交線為BD，AC⊥BD，
∴AC⊥平面DD₁B₁B，
∵AC∥MN，∴MN⊥平面DD₁B₁B，
∵B₁F?平面DD₁B₁B，BF?平面DD₁B₁B，
∴B₁F⊥MN，BF⊥MN，
∵B₁F?平面B₁MN，BF?平面BMN，
∴∠B₁FB為二面角B₁-MN-B的平面角，
在Rt△B₁FB中，設(shè)B₁B=1，則FB=

2

4

．
∴tan∠B₁FB=2

2

．
（2）證明：過點P作PE⊥AA₁，則PE∥DA，連接BE，
∵DA⊥平面ABB₁A₁，∴PE⊥平面ABB₁A₁，即PE⊥B₁M，
又∵BE⊥B₁M，∴B₁M⊥平面PEB，
∴PB⊥MB₁，
由（1）中MN⊥平面DD₁B₁B，得PB⊥MN，
所以PB⊥平面MNB₁．
（3）解：符合條件的正方體表面展開圖可以是以下6種之一：

由圖可知PB=

1+( 3 2 )2

=

13

2

．

點評：本題考查二面角的余弦值的求法，考查直線與平面垂直的證明，考查正方體的平面展開圖，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．