Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x-3，則當(dāng)方程f（x）=k有三個(gè)不等實(shí)根時(shí)，k的取值范圍是（　�。�

A．（-4，-3]∪[3，4）

B．[-4，-3）∪（3，4]

C．[-4，-3]∪[3，4]

D．（-4，-3）∪（3，4）

Answer 1

分析：令x＜0，則-x＞0，由x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x-3，可求得f（-x），而f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，從而可求得x＜0時(shí)的解析式，再用分段函數(shù)表示函數(shù)f（x）的解析式畫出圖象，結(jié)合圖象觀察交點(diǎn)情況即可．

解答：解：令x＜0，則-x＞0，
∵x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x-3，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3，
又f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）=x²+2x-3，
∴f（x）=-x²-2x+3（x＜0）．
∴f（x）=

x2-2x-3，x＞0 -x2-2x+3，x＜0

．其圖象如圖：
從圖中可以得出，當(dāng)方程f（x）=k有三個(gè)不等實(shí)根時(shí)，k的取值范圍是（-4，-3）∪（3，4），
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與函數(shù)的圖象，求得x＜0時(shí)的解析式是關(guān)鍵，考查運(yùn)算與作圖能力，屬于基礎(chǔ)題．