Question

設(shè)橢圓方程為x2+

y2

4

=1，求點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)出直線l的方程，A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂，利用直線方程表示出y₁+y₂，然后利用

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)求得

OP

的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，然后聯(lián)立方程消去參數(shù)k求得x和y的關(guān)系式，P點(diǎn)軌跡可得．

解答：解：設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點(diǎn)，
①當(dāng)斜率存在時(shí)，直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
橢圓：4x²+y²-4=0
由直線l：y=kx+1代入橢圓方程得到：
（4+k²）x²+2kx-3=0，
x₁+x₂=-

2k

4+k2

，y₁+y₂=

8

4+k2

，
由

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)得：
（x，y）=

1

2

（x₁+x₂，y₁+y₂），
即：

x= x1+x2 2 =- k 4+k2 y= y1+y2 2 = 4 4+k2

消去k得：4x²+y²-y=0
當(dāng)斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，也適合方程
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：4x²+y²-y=0．

點(diǎn)評：本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，以及軌跡的求法與應(yīng)用、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力．