Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+2x．
（1）現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請(qǐng)補(bǔ)完整函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)f（x）的增區(qū)間；
（2）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]（a＜b）上的值域是[-1，3]，則b-a的取值范圍是

[2，6]

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可作出f（x）的圖象，由圖象可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）令x＞0，則-x＜0，根據(jù)條件可得f（-x）=x²-2x，利用函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得f（x）=f（-x）=x²-2x，從而可得函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]（a＜b）上的值域是[-1，3]，確定b-a的最小值與最大值，從而可得b-a的取值范圍．

解答：解：（1）如圖，根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可作出f（x）的圖象，（2分），則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞）；（5分）
（2）令x＞0，則-x＜0，∴f（-x）=x²-2x
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=x²-2x
∴解析式為f(x)=

x2+2x，x≤0 x2-2x，x＞0

（8分）
值域?yàn)閧y|y≥-1}．（10分）
（3）當(dāng)x≤0時(shí)，令f（x）=x²+2x=3，則x=-3
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]（a＜b）上的值域是[-1，3]，
∴b-a的最小值為-1+3=2，最大值為3+3=6
∴b-a的取值范圍是[2，6]（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)圖象的作法，考查函數(shù)解析式的確定與函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．