Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1和x=-1時取得極值，且f（1）=-1．
（1）試求常數(shù)a、b、c的值；
（2）試求f（x） 的單調(diào)區(qū)間；
（3）試判斷x=±1時函數(shù)取極小值還是極大值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用極值點必為f′（x）=0的根建立起由極值點x=±1所確定的相關(guān)等式，運用待定系數(shù)法確定a、b、c的值．
（2）求導(dǎo)函數(shù)，并分解因式，討論x的取值決定f′（x）的正負(fù)，從而可得函數(shù)的增減性單調(diào)區(qū)間；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，可確定函數(shù)的極值．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1和x=-1時取得極值
∴f′（1）=f′（-1）=0，
∴3a+2b+c=0，①3a-2b+c=0．②
又f（1）=-1，∴a+b+c=-1．③
由①②③解得a=

1

2

，b=0，c=-

3

2

．
（2）f（x）=

1

2

x³-

3

2

x，∴f′（x）=

3

2

（x-1）（x+1）．
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞1；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜1．
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，1）
（3）由（2）知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，1）
∴x=-1時，f（x）有極大值；x=1時，f（x）有極小值．

點評：本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的能力，考查學(xué)生的計算能力．