Question

【題目】某物流公司購(gòu)買了一塊長(zhǎng)AM＝90米，寬AN＝30米的矩形地塊AMPN，規(guī)劃建設(shè)占地如圖中矩形ABCD的倉(cāng)庫(kù)，其余地方為道路和停車場(chǎng)，要求頂點(diǎn)C在地塊對(duì)角線MN上，B、D分別在邊AM、AN上，假設(shè)AB長(zhǎng)度為x米．若規(guī)劃建設(shè)的倉(cāng)庫(kù)是高度與AB的長(zhǎng)相同的長(zhǎng)方體建筑，問(wèn)AB長(zhǎng)為多少時(shí)倉(cāng)庫(kù)的庫(kù)容最大？(墻體及樓板所占空間忽略不計(jì))

Answer 1

【答案】AB的長(zhǎng)度為60米時(shí)倉(cāng)庫(kù)的庫(kù)容最大

【解析】

通過(guò)設(shè)AB的長(zhǎng)度為x米，利用相似三角形可知AD＝30x，進(jìn)而對(duì)倉(cāng)庫(kù)的庫(kù)容V（x）x3+30x2（0＜x＜90）求導(dǎo)可知當(dāng)x＝60時(shí)V（x）有極大值也是最大值，代入計(jì)算即得結(jié)論．

因?yàn)?/span>，且AM＝90，AN＝30.

所以ND＝·AN＝，

得AD＝AN－ND＝30-

倉(cāng)庫(kù)的庫(kù)容V(x)＝

＝

令V′(x)＝，

得x＝60或x＝0(舍去)．

當(dāng)x∈(0,60)時(shí)，V′(x)>0；

當(dāng)x∈(60,90)時(shí)，V′(x)<0.

所以當(dāng)x＝60時(shí)，V(x)有極大值也是最大值

即AB的長(zhǎng)度為60米時(shí)倉(cāng)庫(kù)的庫(kù)容最大．