Question

已知拋物線：和點(diǎn)，若拋物線上存在不同兩點(diǎn)、滿(mǎn)足．

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，拋物線上是否存在異于、的點(diǎn)，使得經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)處有相同的切線，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（本小題主要考查直線與圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力.運(yùn)算求解能力）

解法1：（1）不妨設(shè)A，B，且，　 ∵，∴．

∴，．…………………4分

∵（），即，

∴，即的取值范圍為．…………………6分

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）求得.的坐標(biāo)分別為.．

假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)（且），…………8分

使得經(jīng)過(guò)..三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)處有相同的切線．

設(shè)經(jīng)過(guò)..三點(diǎn)的圓的方程為，

則

整理得 ．　　　 ①…………9分

∵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，

∴經(jīng)過(guò)..三點(diǎn)的圓在點(diǎn)處的切線　斜率為．………10分

∵，∴直線的斜率存在．

∵圓心的坐標(biāo)為，

∴，

即．　　　 ②…………………12分

∵，由①.②消去，得．

即．

∵，∴．

故滿(mǎn)足題設(shè)的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為．…………………14分

解法2：（1）設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，且。

∵，可得為的中點(diǎn)，

即．…………………2分

顯然直線與軸不垂直，

設(shè)直線的方程為，　 即，…………………3分

將代入中，

得． …………………4分

∴ ∴．

故的取值范圍為．　　 …………………6分

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）求得，的坐標(biāo)分別為． 　

假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)（且），

使得經(jīng)過(guò)..三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)處有相同的切線．

設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，

∵　

∴　 即　　　 　　　 …………………8分

解得　 …………………10分

∵拋物線在點(diǎn)處切線的斜率為，

而，且該切線與垂直，∴．　

即． …………………12分

將，代入上式，

得．

即．　 ∵且，∴．

故滿(mǎn)足題設(shè)的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為 ． …………………14分