Question

已知數(shù)列{a_n}是首項a1=

1

3 3

，公比q=

1

3 3

的等比數(shù)列，設(shè)b_n+15log₃a_n=t，常數(shù)t∈N^*，數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nb_n．
（1）求證：{b_n}是等差數(shù)列；
（2）若{c_n}是遞減數(shù)列，求t的最小值；
（3）是否存在正整數(shù)k，使c_k，c_k+1，c_k+2重新排列后成等比數(shù)列？若存在，求k，t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知，an=(

1

3 3

)n，再由bn+1-bn=-15log3(

an+1

an

)=5，得b₁=-15log₃a₁+t=t+5，由此能夠證明{b_n}是等差數(shù)列．
（2）由b_n=5n+t，知cn=(5n+t)(

1

3 3

)n，cn+1-cn=(

5n+5+t

3 3

-5n-t)(

1

3 3

)n＜0恒成立，再由f(n)=-5n+

5

3 3 -1

是遞減函數(shù)，知當n=1時取最大值，f(n)max=-5+

5

3 3 -1

≈6.3，由此能求出t的最小值．
（3）記5k+t=x，ck=(5k+t)(

1

3 3

)k=x(

1

3 3

)k，ck+1=(5k+5+t)(

1

3 3

)k+1=(x+5)(

1

3 3

)k+1，ck+2=(5k+10+t)(

1

3 3

)k+2=(x+10)(

1

3 3

)k+2，再分情況討論進行求解．

解答：解：（1）由題意知，an=(

1

3 3

)n，（1分）
因為bn+1-bn=-15log3(

an+1

an

)=5，b₁=-15log₃a₁+t=t+5
∴數(shù)列b_n是首項為b₁=t+5，公差d=5的等差數(shù)列．（4分）
（2）由（1）知，b_n=5n+t，cn=(5n+t)(

1

3 3

)n，cn+1-cn=(

5n+5+t

3 3

-5n-t)(

1

3 3

)n＜0恒成立，即t＞-5n+

5

3 3 -1

恒成立，（7分）
因為f(n)=-5n+

5

3 3 -1

是遞減函數(shù)，
所以，當n=1時取最大值，f(n)max=-5+

5

3 3 -1

≈6.3，（9分）
因而t＞6.3，因為t∈N，所以t=7．（10分）
（3）記5k+t=x，ck=(5k+t)(

1

3 3

)k=x(

1

3 3

)k，ck+1=(5k+5+t)(

1

3 3

)k+1=(x+5)(

1

3 3

)k+1，ck+2=(5k+10+t)(

1

3 3

)k+2=(x+10)(

1

3 3

)k+2．
①若c_k是等比中項，則由c_k+1•c_k+2=c_k²得(x+5)(

1

3 3

)k+1•(x+10)(

1

3 3

)k+2=x2(

1

3 3

)2k化簡得2x²-15x-50=0，解得x=10或x=-

5

2

（舍），（11分）
所以5n+t=10，因而

k=1 t=5

及

k=2 t=0

．
又由常數(shù)t∈N^*，則

k=2 t=0

舍去，
②若c_k+1是等比中項，則由c_k•c_k+2=c_k+1²得x(

1

3 3

)k•(x+10)(

1

3 3

)k+2=(x+5)2(

1

3 3

)2k+2
化簡得x（x+10）=（x+5）²，顯然不成立．（16分）
③若c_k+2是等比中項，則由c_k•c_k+1=c_k+2²得x(

1

3 3

)k•(x+5)(

1

3 3

)k+1=(x+10)2(

1

3 3

)2k+4
化簡得2x²-5x-100=0，因為△=5²+4×2×100=25×33不是完全不方數(shù)，因而x的值是無理數(shù)，顯然不成立．
則符合條件的k、t的值為

k=1 t=5

．（18分）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明方法、以遞減數(shù)列為載體求參數(shù)的最小值和利用分類討論思想在等比數(shù)列中的運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．