Question

設(shè)函數(shù)f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ，0≤θ≤

π

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，其中n為正整數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f₁（θ）、f₃（θ）的單調(diào)性，并就f₁（θ）的情形證明你的結(jié)論；
（2）證明：2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）；
（3）對于任意給定的正奇數(shù)n，求函數(shù)f_n（θ）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè) θ₁＜θ₂，θ₁、θ₂∈[0，

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]，根據(jù)三角函數(shù)的特點(diǎn)判斷f₁（θ₁）-f₁（θ₂）=（sinθ₁-sinθ₂）+（cosθ₂-cosθ₁）＜0，從而得出結(jié)論；
（2）首先利用余弦的二倍角公式化簡原式的左邊等于cos²2θ，同理原式右邊也等于cos²2θ，從而證明結(jié)論．
（3）當(dāng)n=1時(shí)，f₁（θ）在[0，

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]上單調(diào)遞增，求出最值；當(dāng)n=3時(shí)，f₃（θ）在[0，

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]上為單調(diào)遞增，求出最值；正奇數(shù)n≥5的情形，首先根據(jù)定義判斷出函數(shù)的單調(diào)遞增，從而得出f_n（θ）的最大值為f_n（

π

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）=0，最小值為f_n（0）=-1．

解答：解：（1）f₁（θ）、f₃（θ）在0≤θ≤

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，上均為單調(diào)遞增的函數(shù)．
對于函數(shù)f₁（θ）=sinθ-cosθ，設(shè) θ₁＜θ₂，θ₁、θ₂∈[0，

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]，則
f₁（θ₁）-f₁（θ₂）=（sinθ₁-sinθ₂）+（cosθ₂-cosθ₁），
∵sinθ₁＜sinθ₂，cosθ₂＜cosθ₁
∴f₁（θ₁）＜f₁（θ₂）函數(shù)f₁（θ）在[0，

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]上單調(diào)遞增．
（2）∵原式左邊=2（sin⁶θ+cos⁶θ）-（sin⁴θ+cos⁴θ）
=2（sin²θ+cos²θ）（sin⁴θ-sin²θcos²θ+cos⁴θ）-（sin⁴θ+cos⁴θ）
=1-sin²2θ=cos²2θ．
又∵原式右邊=（cos²θ-sin²θ）2=cos²2θ
∴2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）．
（3）當(dāng)n=1時(shí)，函數(shù)f₁（θ）在[0，

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]上單調(diào)遞增，
∴_f1（θ）的最大值為f₁（

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）=0，最小值為f₁（0）=-1．
當(dāng)n=3時(shí)，函數(shù)f₃（θ）在[0，

π

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]上為單調(diào)遞增．
∴f₃（θ）的最大值為f₃（

π

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）=0，最小值為f₃（0）=-1．
下面討論正奇數(shù)n≥5的情形：對任意θ1、θ₂∈[0，

π

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]，且θ₁＜θ₂
∵f_n（θ₁）-f_n（θ₂）=（sinⁿθ₁-sinⁿθ₂）+（cosⁿθ₂-cosⁿθ₁），
以及 0≤sinθ₁＜sinθ₂＜1  0≤cosθ₂＜cosθ₁＜1，
∴sinⁿθ₁＜sinⁿθ₂ cosⁿθ₂＜cosⁿθ₁，從而f_n（θ₁）＜f_n（θ₂）．
∴f_n（θ）在[0，

π

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]上為單調(diào)遞增，
則f_n（θ）的最大值為f_n（

π

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）=0，最小值為f_n（0）=-1．
綜上所述，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)f_n（θ）的最大值為0，最小值為-1．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的最值，函數(shù)單調(diào)性的判定以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，一般根據(jù)定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，此題有一定難度．