Question

已知實(shí)數(shù)x、y滿足

2x-y≤0 x+y-5≥0 y-4≤0

，若不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是（　�。�

• A．

  25

  17

• B．

  8

  5

• C．

  9

  5

• D．2

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，而k=

y

x

表示區(qū)域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與原點(diǎn)連線的斜率，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P可得k的取值范圍為[2，4]．不等式a（x²+y²）≥（x+y）²可化為a≥1+

2

1 k +k

，再算出不等式右邊的最大值，即可得到實(shí)數(shù)a的最小值．

解答：解：作出不等式組

2x-y≤0 x+y-5≥0 y-4≤0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，
其中A（

5

3

，

10

3

），B（1，4），C（2，4）
設(shè)k=

y

x

，表示區(qū)域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與原點(diǎn)O連線的斜率，
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可得當(dāng)P與A重合時(shí)，斜率取得最小值為2；
當(dāng)P與C重合時(shí)，斜率取得最大值為4．
因此，k=

y

x

的取值范圍為[2，4]
∵不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立，
∴兩邊都除以x²+y²，得a≥

(x+y)2

x2+y2

=1+

2xy

x2+y2

=1+

2

1 k +k

∵k∈[2，4]，可得

1

k

+k∈[

5

2

，

17

4

]
∴t=1+

2

1 k +k

的取值范圍為[

25

17

，

9

5

]
∵a≥1+

2

1 k +k

對(duì)任意k∈[2，4]恒成立，∴a≥（1+

2

1 k +k

）_max=

9

5

故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求使不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、直線的斜率公式和不等式恒成立等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．